الثاني حتى تكون عشرة فهو جذر المربّع الثاني ، وكذلك إذا نقصت البيت من الذي يليه خرج زوج الزوج مثل الاثنا عشر من العشرين ، وذلك فيما نشوّه من ضرب الأربعة في الأفراد ، ومثل الأربعة والعشرين من الأربعين ، وذلك فيما نشوّه من ضرب الثمانية في الأفراد ، وهذا ما نقوله في خواص أنواع الزوج . ( شحس ، 30 ، 16 ) عدد زوج الفرد - زوج الفرد هو الذي يعدّه فرد بعدد زوج . ( شأه ، 211 ، 10 ) - أما خواص زوج الفرد فقد عرفنا في كتاب الأسطقسات ما عرفنا ( ابن سينا ) ، ولاح في جملتها أنه لا بعدها زوج إلّا بفرد ولا فرد إلّا بزوج ، وجزء الزوج سمّي الفرد كالاثنين ثلث الستّة ، وجزء الفرد سمّي الزوج كالثلاثة نصف الستّة ، وإن زيادة الزوج الأول وهو الاثنان عليه يخرج زوج الزوج فعلم أن أنشأه من ضرب الأفراد المتوالية في اثنين ، فيعلم من ذلك أن الواقع بين مرتبة وبين التي تليها ضعف الواقع كان في الأفراد والطبيعية فيكون تفاضل مراتبها بأربعة وإنه لا مجذور فيها ولا مكعّب ، فإن كل مجذور مكعّب إما فرد يعدّ بفرد بعدد فرد وإما زوج يعدّ بزوج بعدد زوج . ( شحس ، 28 ، 21 ) عدد فرد - العدد الفرد هو الذي لا ينقسم بمتساويين . ( شأه ، 211 ، 8 ) - لنبدأ بخواص الفرد فنقول ( ابن سينا ) : إنها الخواص المعلومة المذكورة من أنها لا تتركّب عن أزواج البتّة ولا عن أفراد بعدد زوج ، ولا يوجد فيها من جنسها عدد يعني ما بعده من جنسها ولا يوجد فيها من جنس مقابلها عدد يعني ما بعده من جنسها وما جرى مجرى هذه الخواص . . . فمن خواصها أن مجموعها من الواحد على الولاء يكون مربّعا أبدا ، مثل الواحد والثلاثة ، ثم الواحد والثلاثة والخمسة ، ثم الواحد والثلاثة والخمسة والسبعة ، ثم الواحد والثلاثة والخمسة والسبعة والتسعة . ومن خواصها أن كل مربّع من هذه فضلعه عدد المراتب ، مثل الأربعة فهو مجموع مرتبتين فجذرها اثنان ، والتسعة فهو مجموع ثلاث مراتب ، فجذرها ثلاث . ومن خواصها أنك إذا أردت أن تعرف مبلغ عدد يقع في مرتبة معلومة من الواحد مثلا كالعاشرة والحادية عشر وغير ذلك ، فاضرب عدد المرتبة ولتكن العاشرة ، وعددها عشرة في اثنين فيكون عشرين ، فأنقص منه واحدا فيكون تسعة عشر فهو عدد المرتبة العاشرة . ( شحس ، 24 ، 3 ) - إذا قلت : عدد فرد ، فمعناه أنّه عدد ذو فرديّة ، أي شيء ذو كيفيّة لا ينقسم معها العدد بمتساويين ، فيكون العدد الثاني المأخوذ في بيان حدّ الفرد ليس على سبيل أنّه محمول ، بل على سبيل أنّه جزء حدّ لجزء حدّ . ( شجد ، 173 ، 16 )